Question

已知函数f（x）=-x³+ax²+b（a，b∈R）．
（1）当a＞0时，函数f（x）满足f（x）_极小值=1，f（x）_极大值=，试求y=f（x）的解析式；
（2）当x∈[0，1]时，设f（x）图象上任意一点处的切线的倾斜角为θ，若a∈[，]且a为常数，求θ的取值范围．

Answer 1

【答案】分析：（1）先求导函数，确定函数的单调性，再利用f（x）_极小值=1，f（x）_极大值=，建立方程，从而可求y=f（x）的解析式；
（2）先求导函数，根据a∈[，]，可确定斜率的范围，从而可确定倾斜角θ的取值范围．
解答：解：（1）由f′（x）=-3x²+2ax（a＞0），
令f′（x）=0，得x=0或x=a．…（1分）
当x变化时，f′（x），f（x）的变化情况如下表：

x	（-∞，0）		（0，a）	a	（a，+∞）
f′（x）	-		+		-
f（x）	↘	b	↗	f（a）	↘

∴当x=0时，f（x）_极小值=f（0）=b=1，当x=a时，f（x）_极大值==，…（4分）
解得b=1，a=1．
∴f（x）=-x³+x²+1．…（6分）
（2）tanθ=f′（x）=-3x²+2ax=，…（7分）
∵a∈[，]，
∴≤≤．
∵x∈[0，1]，
∴f′（0）≤f′（x）≤f′（）．…（10分）
∴0≤f′（x）≤，即0≤tanθ≤，
∵0≤θ≤π，∴θ∈[0，arctan]，
∴θ的取值范围是[0，arctan]．…（12分）
点评：本题主要考查了导数的运用，考查函数的极值，导数的几何意义，解题的关键是明确导数的几何意义．