Question

从中这个数中取（，）个数组成递增等差数列，所有可能的递增等差数列的个数记为．
（1）当时，写出所有可能的递增等差数列及的值；
（2）求；
（3）求证：．

Answer 1

（1）；（2）；（3）详见解析．

试题分析：（1）符合要求的递增等差数列全部列出，即可求出的值；（2）求，即从到个数中取个，组成递增等差数列，由等差数列的性质知，故分别取，讨论各种情况下，数列的个数，如时，分别取，共可得个符合要求的数列，以此类推，即可得到其他情况的符合要求的数列的个数，加起来的和即为符合要求数列的个数，即得的值；（3）求证：，由（2）的求解过程可知，首先确定的范围，即，由于只能取正整数，故取的整数部分是，即，的可能取值为，计算出，利用即可证得结论．
试题解析：（1）符合要求的递增等差数列为1，2，3；2，3，4；3，4，5；1，3，5，共4个.
所以.                                           3分
（2）设满足条件的一个等差数列首项为，公差为，.
，，的可能取值为．
对于给定的，， 当分别取时，可得递增等差数列个（如：时，，当分别取时，可得递增等差数列91个：；；；，其它同理）.
所以当取时，可得符合要求的等差数列的个数为：
．     8分
（3）设等差数列首项为，公差为，
，，
记的整数部分是，则，即．
的可能取值为，
对于给定的，，当分别取时，可得递增等差数列个.
所以当取时，得符合要求的等差数列的个数

易证．
又因为，，
所以．
所以
．
即．            13分