Question

已知数列{a_n}中a₁=3，a₂=5，其前n项和满足：S_n+S_n-2=2S_n-1+2^n-1（n≥3）．
（1）试求数列{a_n}的通项公式；
（2）令b_n=，T_n是数列{b_n}的前n项和，证明：T_n＜；
（3）证明：对任意的m∈（0，），均存在n₀∈N^*，使得（2）中的T_n＞m成立．

Answer 1

（1）解：由S_n+S_n-2=2S_n-1+2^n-1（n≥3）得S_n-S_n-1=S_n-1-S_n-2+2^n-1（n≥3），
∴a_n=a_n-1+2^n-1
∴a_n=（a_n-a_n-1）+（a_n-1-a_n-2）+…+（a₃-a₂）+a₂=2^n-1+2^n-2+…+2²+5=2ⁿ+1（n≥3）
检验知n=1、2时，结论也成立，故a_n=2ⁿ+1；
（2）证明：∵b_n==，
∴T_n=b₁+b₂+…+b_n=[（-）+（）+…+]=＜
（3）证明：由（2）可知T_n=，
若T_n＞m，则得，化简得．
∵m∈（0，），∴1-6m＞0，∴，∴n＞，
当＜1，即0＜m＜时，取n₀=1即可，
当≥1，即时，则记的整数部分为S，取n₀=S+1即可，
综上可知：对任意的m∈（0，），均存在n₀∈N^*，使得（2）中的T_n＞m成立．
分析：（1）由S_n+S_n-2=2S_n-1+2^n-1（n≥3）得a_n=a_n-1+2^n-1（n≥3），利用a_n=（a_n-a_n-1）+（a_n-1-a_n-2）+…+（a₃-a₂）+a₂，即可求得结论；
（2）b_n==，从而可求T_n，即可证得结论；
（3）由（2）可知T_n=，若T_n＞m，则得，化简得，根据m∈（0，），可得n＞，分类讨论，即可求得结论．
点评：本题考查数列的通项与求和，考查不等式的证明，解题的关键是累加法求通项，裂项相消法求和，属于中档题．