Question

如图（1），在直角梯形ABCP中，BC∥AP，AB⊥BC，CD⊥AP，AD=DC=PD=2，E、F、G分别是线段PC、PD、BC的中点，现将△PDC沿CD折起，使平面PDC⊥平面ABCD，如图（2）．
（1）求证：PA∥平面EFG．
（2）求二面角G-EF-C的大小．
（3）在线段PB上是否存在这样的点Q，使PC⊥平面ADQ，若存在，请指出它的位置；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）欲证PA∥平面EFG，根据直线与平面平行的判定定理可知只需证PA与平面EFG内一直线平行，取AD的中点M，连接FM、MG，由三角形中位线定理知FM∥PA，又FM?平面EFG，PA不属于平面EFG，满足定理所需条件；
（2）易证EF⊥FD，EF⊥FM，根据二面角平面角的定义可知∠DFM为二面角G-EF-C的平面角．在Rt△DFM中，求出此角即可求出二面角G-EF-C的大小；
（3）当Q为PD的中点时，PC⊥平面ADQ．当Q为PD的中点时，连接AQ、QE、ED，根据线面垂直的判定定理可知AD⊥平面PCD，再由性质可AD⊥PC，同理可证PC⊥平面ADEQ，从而得到结论．
解答：解：（1）证明：如图，取AD的中点M，连接FM、MG，
由条件知EF∥DC∥MG，所以E、F、M、G四点共面，
又由三角形中位线定理知FM∥PA，
又FM?平面EFG，PA不属于平面EFG，
所以PA∥平面EFG．
（2）由条件知CD⊥AD，CD⊥PD，所以CD⊥平面PAD，
又EF∥CD，所以EF⊥平面PAD，所以EF⊥FD，EF⊥FM，所以∠DFM为二面角G-EF-C的平面角．
在Rt△DFM中，DF=DM=1，所以∠DFM=45°，
所以二面角G-EF-C的大小为45°．
（3）当Q为PD的中点时，PC⊥平面ADQ．证明如下：
当Q为PD的中点时，连接AQ、QE、ED，则EQ∥BC∥AD，
所以A、D、E、Q四点共面，
因为AD⊥CD，AD⊥PD，又CD∩PD=D，所以AD⊥平面PCD，
又PC?平面PCD，所以AD⊥PC．
因为PD=CD=2，E为PC的中点，所以DE⊥PC，又AD∩DE=D，
所以PC⊥平面ADEQ，
所以在线段PB上存在点Q，使PC⊥平面ADQ，且该点为线段PB的中点．
点评：本题主要考查了线面平行的判定，以及二面角的度量和线面垂直的判定等有关知识，同时考查了空间想象能力、推理能力，以及转化与划归的思想，属于中档题．