Question

9．如图，在△ABC中，点D为边AC的中点，3AE=AB，BD=CE交于点P，设$\overrightarrow{a}$=$\overrightarrow{AB}$，$\overrightarrow{b}$=$\overrightarrow{AC}$
（1）试用$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$表示$\overrightarrow{CE}$；
（2）试用$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$表示$\overrightarrow{AP}$．

Answer 1

分析 （1）利用向量的基本定理，结合向量三角形的法则即可用$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$表示$\overrightarrow{CE}$；
（2）设$\overrightarrow{BP}$=λ$\overrightarrow{BD}$，$\overrightarrow{EP}$=μ$\overrightarrow{EC}$，结合向量三角形的法则即可求出$\overrightarrow{AP}$．

解答 解：（1）∵3AE=AB，
∴AE=$\frac{1}{3}$AB，即$\overrightarrow{AE}$=$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{AB}$=$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{a}$，
$\overrightarrow{CE}$=$\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{AE}$=$-\overrightarrow{AC}+\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}$=$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{a}$$-\overrightarrow{b}$；
（2）设$\overrightarrow{BP}$=λ$\overrightarrow{BD}$=λ（$\frac{1}{2}\overrightarrow{AC}$-$\overrightarrow{AB}$），
$\overrightarrow{EP}$=μ$\overrightarrow{EC}$=μ（$\overrightarrow{AC}$-$\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}$），
$\overrightarrow{BP}$=$\overrightarrow{EP}$-$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{AB}$=μ（$\overrightarrow{AC}$-$\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}$）-$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{AB}$=μ$\overrightarrow{AC}$-（$\frac{1}{3}$μ+$\frac{2}{3}$）$\overrightarrow{AB}$，
∵$\overrightarrow{BP}=\overrightarrow{BP}$，
∴μ$\overrightarrow{AC}$-（$\frac{1}{3}$μ+$\frac{2}{3}$）$\overrightarrow{AB}$=$\frac{1}{2}$λ$\overrightarrow{AC}$-λ$\overrightarrow{AB}$，
则μ=$\frac{1}{2}$λ，$\frac{1}{3}$μ+$\frac{2}{3}$=λ，
则 λ=$\frac{4}{5}$，μ=$\frac{2}{5}$，
则$\overrightarrow{AP}$=$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BP}$=$\overrightarrow{AB}$+4×（$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{AC}$-$\overrightarrow{AB}$）×$\frac{1}{5}$=$\frac{2}{5}$$\overrightarrow{AC}$+$\frac{1}{5}$$\overrightarrow{AB}$=$\frac{1}{5}\overrightarrow{a}+\frac{2}{5}\overrightarrow{b}$．

点评 本题主要考查向量的基本定理，利用向量三角形法则以及向量共线定理是解决本题的关键．综合性较强．