Question

已知命题P：函数f（x）=log_2m（x+1）是增函数；命题Q：?x∈R，x²+mx+1≥0．
（1）写出命题Q的否命题?Q；并求出实数m的取值范围，使得命题?Q为真命题；
（2）如果“P∨Q”为真命题，“P∧Q”为假命题，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析：（1）否命题?Q，就是把命题Q的条件和结论都否定，联系对应二次函数图象，由△=m²-4＞0，解得m的
取值范围．
（2）命题P和命题Q中，一个为真命题，一个为假命题，分命题P是真命题且命题Q是假命题、命题P是
假命题且命题Q是真命题，两种情况，计算可得答案．

解答：解：（1）?Q：?x₀∈R，x₀²+mx₀+1＜0．（2分）
若?Q为真命题，则△=m²-4＞0，解得：m＜-2，或m＞2．
故所求实数m的取值范围为：（-∞，-2）∪（2，+∞）．（5分）
（2）若函数f（x）=log_2m（x+1）是增函数，则 2m＞1，A={m|m＞

1

2

}．（7分）
又?x∈R，x²+mx+1≥0为真命题时，由△=m²-4≤0，
求得m的取值范围为B={m|-2≤m≤2}．（9分）
由“P∨Q”为真命题，“P∧Q”为假命题，故命题P、Q中有且仅有一个真命题．
当P真Q假时，实数m的取值范围为：
A∩CRB=(

1

2

，+∞)∩[(-∞，-2)∪(2，+∞)]=(2，+∞)．（11分）
当P假Q真时，实数m的取值范围为：
(CRA)∩B=(-∞，

1

2

]∩[-2，2]=[-2，

1

2

]；（13分）
综上可知实数m的取值范围：[-2，

1

2

]∪（2，+∞）．（14分）

点评：本题考查对数函数的单调性，一元二次不等式的解法，命题的否定，体现了数形结合及分类讨论的数学思想．