Question

在等差数列{a_n}中，公差d≠0，a₂是a₁与a₄的等比中项，已知数列a₁，a₃，ak1，ak2，…，akn，…成等比数列，求数列{k_n}的通项k_n．

Answer 1

分析：由已知a₂是a₁与a₄的等比中项，我们可构造一个关于数列基本量（首项与公差）的方程，解方程可以找到首项与公差的关系，又由a₁，a₃，ak1，ak2，…，akn，…成等比数列，则我们可以得到该数列的公比，进而给出该数列的通项公式，进一步给出数列{k_n}的通项k_n．

解答：解：由题意得：a₂²=a₁a₄
即（a₁+d）²=a₁（a₁+3d）
又d≠0，∴a₁=d
又a₁，a₃，ak1，ak2，，akn，成等比数列，
∴该数列的公比为q=

a3

a1

=

3d

d

=3，
所以akn=a1•3n+1
又akn=a1+(kn-1)d=kna1
∴k_n=3ⁿ⁺¹
所以数列{k_n}的通项为k_n=3ⁿ⁺¹

点评：在求一个数列的通项公式时，如果可以证明这个数列为等差数列，或等比数列，则可以求出其基本项（首项与公差或公比）进而根据等差或等比数列的通项公式，写出该数列的通项公式，如果未知这个数列的类型，则可以判断它是否与某个等差或等比数列有关，间接求其通项公式．