Question

设集合A={x|

x+3

x-3

＜0}，若p、q∈A，求方程x²+2px-q²+1=0有两实根的概率．

Answer 1

分析：欲求方程x²+2px-q²+1=0有两个实数根的概率，先根据二次方程根的判别式求出p，q必须满足的条件，再在坐标系中画出相应的封闭曲线，最后利用几何概率的计算方法，求出它们的面积比即可．

解答：解：集合A={x|

x+3

x-3

＜0}={x|-3＜x＜3}，
又∵方程x²+2px-q²+1=0有两个实数根，
∴△≥0，即有：

-3＜p＜3 -3＜q＜3 △=(2p)2-4(-q2+1)≥0

，
即

-3＜p＜3 -3＜q＜3 p2+q2≥1

．
在坐标平面内画出其表示的平面区域，如图所示，是正方形内单位圆外的部分．
其中圆的面积为π，正方形的面积为36，
根据几何概率的计算公式得，
方程x²+2px-q²+1=0有两个实数根的概率：P=

S圆外的部分

S正方形

=

36-π

36

．

点评：本题主要考查了几何概型，简单地说，如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或体积）成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称为几何概型．