Question

一批产品需要进行质量检验，检验方案是：先从这批产品中任取4件作检验，这4件产品中优质品的件数记为n．如果n=3，再从这批产品中任取4件作检验，若都为优质品，则这批产品通过检验；如果n=4，再从这批产品中任取1件作检验，若为优质品，则这批产品通过检验；其他情况下，这批产品都不能通过检验．假设这批产品的优质品率为50%，即取出的产品是优质品的概率都为

1

2

，且各件产品是否为优质品相互独立．
（Ⅰ）求这批产品通过检验的概率；
（Ⅱ）已知每件产品检验费用为100元，凡抽取的每件产品都需要检验，对这批产品作质量检验所需的费用记为X（单位：元），求X的分布列及数学期望．

Answer 1

分析：（Ⅰ）设第一次取出的4件产品中恰有3件优质品为事件A₁，第一次取出的4件产品全是优质品为事件A₂，第二次取出的4件产品全是优质品为事件B₁，第二次取出的1件产品是优质品为事件B₂，这批产品通过检验为事件A，依题意有A=（A₁B₁）∪（A₂B₂），且A₁B₁与A₂B₂互斥，由概率得加法公式和条件概率，代入数据计算可得；
（Ⅱ）X可能的取值为400，500，800，分别求其概率，可得分布列，进而可得期望值．

解答：解：（Ⅰ）设第一次取出的4件产品中恰有3件优质品为事件A₁，第一次取出的4件产品全是优质品为事件A₂，
第二次取出的4件产品全是优质品为事件B₁，第二次取出的1件产品是优质品为事件B₂，
这批产品通过检验为事件A，依题意有A=（A₁B₁）∪（A₂B₂），且A₁B₁与A₂B₂互斥，
所以P（A）=P（A₁B₁）+P（A₂B₂）=P（A₁）P（B₁|A₁）+P（A₂）P（B₂|A₂）
=

4

16

×

1

16

+

1

16

×

1

2

=

3

64

（Ⅱ）X可能的取值为400，500，800，并且P（X=800）=

1

4

，P（X=500）=

1

16

，
P（X=400）=1-

1

16

-

1

4

=

11

16

，故X的分布列如下：

X	400	500	800
P	11 16	1 16	1 4

故EX=400×

11

16

+500×

1

16

+800×

1

4

=506.25

点评：本题考查离散型随机变量及其分布列涉及数学期望的求解，属中档题．