Question

设命题p：实数x满足（x-a）（x-3a）＜0，其中a＞0；命题q：数x满足2≤x≤3．
（1）若a=1，且p∧q为真命题，求实数x的取值范围；
（2）若￢p是￢q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）当a=1时，利用且p∧q为真命题，确定条件，即可求实数x的取值范围；
（2）将￢p是￢q的充分不必要条件，转化为q是p的充分不必要条件，建立条件关系，即可求实数a的取值范围．

解答：解：（1）由已知（x-3a）（x-a）＜0，又a＞0，
∴a＜x＜3a，
当a=1时，1＜x＜3，即p为真时实数x的取值范围是1＜x＜3．
由已知q为真时实数x的取值范围是2≤x≤3．
若p∧q为真，则p真且q真，
∴实数x的取值范围是2≤x＜3．
（2）若?p是?q的充分不必要条件，
由命题的等价性可知：q是p的充分不必要条件，
即q⇒p，且p⇒q不成立，
设A={x|2≤x≤3}，B={x|a＜x＜3a}，
则

a＜2 3a＞3

，
解得1＜a＜2，
∴实数a的取值范围是（1，2）．

点评：本题主要考查复合命题的应用，利用逆否命题的等价性将￢p是￢q的充分不必要条件，转化为q是p的充分不必要条件是解决本题的关键．