Question

(本小题满分14分)  已知为正实数，为自然数，抛物线与轴正半轴相交于点，设为该抛物线在点处的切线在轴上的截距。

（Ⅰ）用和表示；

（Ⅱ）求对所有都有成立的的最小值；

（Ⅲ）当时，比较与

的大小，并说明理由。

 

Answer 1

【答案】

（1）；（2）3；（3）见解析.

【解析】（1）由已知得，交点A的坐标为，对

则抛物线在点A处的切线方程为：

  ………………4分

（2）由（1）知f(n)=,则

（3）即知，对于所有的n成立，

特别地，当n=1时，得到a≥3

当a=3，n≥1时，

当n=0时，=2n+1.故a=3时对所有自然数n均成立.

所以满足条件的a的最小值为3. ………………………………………………8分

（4）由（1）知f(k)=

下面证明：

首先证明0<x<1时，

设函数g(x)=6x(x²-x)+1,0<x<1,  则.

当时,g'(x)<0;   当

故g（x）在区间（0，1）上的最小值

所以，当0<x<1时，g（x）>0,即得

由0<a<1知

 

[点评]本小题属于高档题，难度较大，需要考生具备扎实的数学基础和解决数学问题的能力.主要考查了导数的应用、不等式、数列等基础知识；考查了思维能力、运算能力、分析问题与解决问题的能力和创新意识能力；且又深层次的考查了函数、转换与化归、特殊与一般等数学思维方法。