Question

过点（1，3）且与曲线y=x³+2x相切的直线方程为________．

Answer 1

11x-4y+1=0或5x-y-2=0
分析：设切点为（x₀，y₀），则y₀=x₀³-3x₀²+2x₀，由于直线l经过原点，故等式的两边同除以x₀即得切线的斜率，再根据导数的几何意义求出曲线在点x₀处的切线斜率，便可建立关于x₀的方程．在两边同除以x₀时，要注意对x₀是否为0进行讨论．
解答：设直线l：y-3=k（x-1）．∵y′=3x²+2，∴y′|_x=1=5，
又∵直线与曲线均过点（1，3），于是直线y-3=k（x-1）与曲线y=x³+2x相切于切点（1，3）时，k=5．
若直线与曲线切于点（x₀，y₀）（x₀≠0），则k=，∵y₀=x₀³+2x₀，
∴=x₀²-3x₀+2，
又∵k=y′|=3x₀²+2，
∴x₀²-3x₀+2=3x₀²+2，∴2x₀²+3x₀=0，
∵x₀≠0，∴x₀=-，∴k=x₀²-3x₀+2=，
故直线l的方程为11x-4y+1=0或5x-y-2=0．
故答案为：11x-4y+1=0或5x-y-2=0．
点评：此题考查学生会利用导数求曲线上过某点切线方程的斜率，会根据一点坐标和斜率写出直线的方程，是一道综合题．