Question

12．若P为椭圆$\frac{{x}^{2}}{16}$+$\frac{{y}^{2}}{15}$=1上任意一点，EF为圆（x-1）²+y²=4的任意一条直径，则$\overrightarrow{PE}$•$\overrightarrow{PF}$的取值范围是[5，21]．

Answer 1

分析 先把$\overrightarrow{PE}$•$\overrightarrow{PF}$转化为=（$\overrightarrow{NE}$-$\overrightarrow{NP}$）•（$\overrightarrow{NF}$-$\overrightarrow{NP}$）=$\overrightarrow{NE}$•$\overrightarrow{NF}$-$\overrightarrow{NP}$•（$\overrightarrow{NE}$+$\overrightarrow{NF}$）+$\overrightarrow{NP}$²=-|NE|•|NF|•cosπ-0+|NP|²=-4+|NP|²．再结合|NP|的范围即可求出结论．

解答 解：因为$\overrightarrow{PE}$•$\overrightarrow{PF}$=（$\overrightarrow{NE}$-$\overrightarrow{NP}$）•（$\overrightarrow{NF}$-$\overrightarrow{NP}$）
=$\overrightarrow{NE}$•$\overrightarrow{NF}$-$\overrightarrow{NP}$•（$\overrightarrow{NE}$+$\overrightarrow{NF}$）+$\overrightarrow{NP}$²
=-|NE|•|NF|•cosπ-0+|NP|²
=-4+|NP|²．
又因为椭圆$\frac{{x}^{2}}{16}$+$\frac{{y}^{2}}{15}$=1的a=4，b=$\sqrt{15}$，c=1，
N（1，0）为椭圆的右焦点，
∴|NP|∈[a-c，a+c]=[3，5]
∴$\overrightarrow{PE}$•$\overrightarrow{PF}$∈[5，21]．
故答案为：[5，21]．

点评 本题主要考查椭圆的基本性质．解决本题的关键在于知道N为椭圆的右焦点并且会把所求问题转化．