Question

已知函数f（x）=ln（1+e^x）-x（x∈R）有下列性质：“若x∈[a，b]，则存在x∈（a，b），使得”成立．
（1）利用这个性质证明x唯一；
（2）设A、B、C是函数f（x）图象上三个不同的点，试判断△ABC的形状，并说明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用反证法，假设存在，∈（a，b），考察得出函数f′（x）是[a，b]上的单调递增函数，得出矛盾
（2）利用f（x）是R上的单调减函数，得出，cosB＜0，∠B为钝角，△ABC为钝角三角形．
解答：解：（1）证明：假设存在，∈（a，b），且在≠，使得
∴，∵
∴f′（x）=-1=-，记g（x）=f′（x）=-，则g′（x）=＞0，f′（x）是[a，b]上的单调递增函数，
∴所以=，与≠矛盾，所以x是唯一的．
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）C（x₃，y₃）且x₁＜x₂＜x ₃
∵，∴f（x）是R上的单调减函数．∴f（x₁）＞f（x₂）＞f（x₃）．
∵，
∴，
∵x₁-x₂＜0，x₃-x₂＞0，f（x₁）-f（x₂）＞0，f（x₃）-f（x₂）＜0，∴
∴cosB＜0，∠B为钝角，∴△ABC为钝角三角形．
点评：本题考查了函数单调性的应用，向量坐标运算及几何意义，反证法的解题思想．综合性强，值得体会．