Question

已知函数f（x）=ax²+blnx在x=1处有极值

1

2

．
（Ⅰ）求a，b的值；
（Ⅱ）求函数y=f（x）的单调性．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由函数f（x）=ax²+blnx，知f′(x)=2ax+

b

x

，由f（x）在x=1处有极值

1

2

，知

f(1)=a= 1 2 f′(1)=2a+b=0

，由此能求出a，b的值．
（Ⅱ）由f（x）=

1

2

x2-lnx，其定义域为（0，+∞），f′（x）=x-

1

x

=

(x+1)(x-1)

x

．列表讨论，能求出函数f（x）的单调区间．

解答：解：（Ⅰ）∵函数f（x）=ax²+blnx，
∴f′(x)=2ax+

b

x

，
∵f（x）在x=1处有极值

1

2

，
∴

f(1)=a= 1 2 f′(1)=2a+b=0

，解得a=

1

2

，b=-1．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得f（x）=

1

2

x2-lnx，其定义域为（0，+∞），
且f′（x）=x-

1

x

=

(x+1)(x-1)

x

．
当x变化时，f′（x），f（x）的变化情况如下表：

∴函数f（x）的单调减区间是（0，1），单调增区间是（1，+∞）．

点评：本题考查函数解析式的求法，考查函数的单调区间的求法，考查推理能力，考查运算能力，解题时要注意等价转化思想的合理运用．