Question

已知如图，斜三棱柱ABC—A₁B₁C₁的侧面A₁ACC₁与底面ABC垂直，∠ABC＝90°，BC＝2，AC＝2，且AA₁⊥A₁C，AA₁＝A₁C.

（Ⅰ）求侧棱A₁A与底面ABC所成角的大小；

（Ⅱ）求侧面A₁ABB₁与底面ABC所成二面角的大小；

（Ⅲ）求侧棱B₁B和侧面A₁ACC₁的距离.

Answer 1

答案：
解析：

解：如图，（Ⅰ）作A1D⊥AC，垂足为D，由面A1ACC1⊥面ABC， 得A1D⊥面ABC ∴∠A1AD为A1A与面ABC所成的角. ∵AA1⊥A1C，AA1＝A1C， ∴∠A1AD＝45°为所求. （Ⅱ）作DE⊥AB，垂足为E，连A1E，则由A1D⊥面ABC，得A1E⊥AB. ∴∠A1ED是面A1ABB1与面ABC所成二面角的平面角. 由已知，AB⊥BC，得ED∥BC.又D是AC的中点，BC＝2，AC＝2， ∴DE＝1，AD＝A1D＝，tanA1ED＝＝. 故∠A1ED＝60°为所求. （Ⅲ）作BF⊥AC，F为垂足，由面A1ACC1⊥面ABC，知BF⊥面A1ACC1. ∵B1B∥面A1ACC1， ∴BF的长是B1B和面A1ACC1的距离. 在Rt△ABC中，AB＝， ∴BF＝为所求.