Question

（2013•深圳二模）已知数列{a_n}，{b_n} 满足：a₁=0，b₁=2013，且对任意的正整数 n，a_n，a_n+1，bn 和 a_n+1，b_n+1，b_n均成等差数列．
（1）求 a₂，b₂的值；
（2）证明：{a_n-b_n}和{a_n+2b_n} 均成等比数列；
（3）是否存在唯一的正整数 c，使得 a_n＜c＜b_n恒成立？证明你的结论．

Answer 1

分析：（1）利用等差中项公式即可求得a₂，b₂；
（2）由a_n，a_n+1，bn 和 a_n+1，b_n+1，b_n均成等差数列，得

an+1= an+bn 2 bn+1= an+1+bn 2

即

an+1= 1 2 an+ 1 2 bn…① bn+1= 1 4 an+ 3 4 bn…②

，只证

an+1-bn+1

an-bn

为常数即可，把①②代入该式即可证得；同理把①②代入

an+1+2bn+1

an+2bn

可证得为常数，注意验证其首项不为0；
（3）由（2）得

an+2bn=4026 an-bn=- 2013 4n-1

，解得

an=1342- 1342 4n-1 bn=1342+ 671 4n-1

，易判断{a_n}是单调递增数列，{b_n}是单调递减数列，且a_n＜1342＜b_n，n∈N^*，再证明对任意的n∈N^*且n≥7时，1341＜a_n＜1342＜b_n＜1343即可说明c的唯一性．

解答：解：（1）因为a_n，a_n+1，bn 和 a_n+1，b_n+1，b_n均成等差数列，
所以a2=

a1+b1

2

=

2013

2

，b2=

a2+b1

2

=

6039

4

；
（2）依题意，对任意的正整数n，有

an+1= an+bn 2 bn+1= an+1+bn 2

⇒

an+1= 1 2 an+ 1 2 bn…① bn+1= 1 4 an+ 3 4 bn…②

，
因为

an+1-bn+1

an-bn

=

( 1 2 an+ 1 2 bn)-( 1 4 an+ 3 4 bn)

an-bn

=

1

4

（常数），n∈N^*，
又a₁-b₁=-2013≠0，
所以{a_n-b_n}是首项为-2013，公比为

1

4

的等比数列；
因为

an+1+2bn+1

an+2bn

=

( 1 2 an+ 1 2 bn)+2( 1 4 an+ 3 4 bn)

an+2bn

=1（常数），n∈N^*，
又a₁+2b₁=4026≠0，
所以{a_n+2b_n}是首项为4026，公比为1的等比数列．
（3）由（2）得，

an+2bn=4026 an-bn=- 2013 4n-1

，解之，得

an=1342- 1342 4n-1 bn=1342+ 671 4n-1

，
显然，{a_n}是单调递增数列，{b_n}是单调递减数列，且a_n＜1342＜b_n，n∈N^*，即存在正整数c=1342，使得对任意的n∈N^*，有a_n＜1342＜b_n，
又令

1342 4n-1 ＜1 671 4n-1 ＜1

，得2^2n-2＞1342，而2¹⁰=1024，2¹²=4096，所以2n-2≥12，n≥7，即对任意的n∈N^*且n≥7时，1341＜a_n＜1342＜b_n＜1343．
所以正整数c=1342也是唯一的．
综上所述，存在唯一的正整数c=1342，使得对任意的正整数 c，使得 a_n＜c＜b_n恒成立．

点评：本题考查等差数列、等比数列的综合，考查利用递推公式推导数列的通项公式，考查学生分析问题解决问题的能力，本题综合性较强，难度较大．