题目内容
已知函数f(x)=2cos2x+
sin2x，x∈R．
（I）求函数f（x）的最大值及此时x的值．
（II）若f(x-
)=
，且tanx＞1，求sin4x的值．
| 3 |
（I）求函数f（x）的最大值及此时x的值．
（II）若f(x-
| π |
| 12 |
| 11 |
| 5 |
分析：（1）利用三角恒等变换公式，化简整理得f（x）=1+2sin（2x+
），再结合三角函数的图象与性质即可得出f（x）的最大值及此时x的值．
（2）由（1）的表达式求出sin2x=
，利用同角三角函数的关系并结合2x的范围算出cos2x=
，最后利用二倍角的正弦公式即可算出sin4x的值．
| π |
| 6 |
（2）由（1）的表达式求出sin2x=
| 3 |
| 5 |
| 4 |
| 5 |
解答：解：（1）∵2cos2x=1+cos2x，
∴f(x)=1+cos2x+
sin2x
=1+2(sin2xcos
+cos2xsin
)=1+2sin（2x+
），
∴当2x+
=2kπ+
时，即x=kπ+
(k∈Z)时，f（x）取最大值3．
（II）∵f(x-
)=
，即1+2sin2x=
，解得sin2x=
．
，∴x∈(kπ+
，kπ+
)．
可得cos2x=-
=-
（舍正）．
∴由二倍角的正弦公式，得sin4x=2sin2xcos2x=-
．
∴f(x)=1+cos2x+
| 3 |
=1+2(sin2xcos
| π |
| 6 |
| π |
| 6 |
| π |
| 6 |
∴当2x+
| π |
| 6 |
| π |
| 2 |
| π |
| 6 |
（II）∵f(x-
| π |
| 12 |
| 11 |
| 5 |
| 11 |
| 5 |
| 3 |
| 5 |
|
| π |
| 4 |
| π |
| 2 |
可得cos2x=-
| 1-sin22x |
| 4 |
| 5 |
∴由二倍角的正弦公式，得sin4x=2sin2xcos2x=-
| 24 |
| 25 |
点评：本题着重考查了二倍角的三角函数公式、辅助角公式、同角三角函数的基本关系和三角函数的图象与性质等知识，属于中档题．
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