Question

已知函数f(x)=ax-

a

x

-2lnx（a≥0），若函数f（x）在其定义域内为单调函数，求a的取值范围．

Answer 1

分析：要保证原函数在定义内单调，需保证其导函数在定义域上不变号，分类讨论，从而求得参数的范围

解答：解：原函数定义域为（0，+∞）
∴f′(x)=a+

a

x2

-

2

x

=

ax2-2x+a

x2

∵函数f（x）在定义域（0，+∞）内为单调函数，
∴f'（x）≤0或f'（x）≥0在（0，+∞）恒成立
（1）当a=0时，f′(x)=-

2

x

＜0在（0，+∞）内恒成立，
∴a=0满足题意
（2）当a＞0时，设g（x）=ax²-2x+a（x∈（0，+∞））
由题意知△=4-4a²≤0
∴a≤-1或a≥1
又∵a＞0
∴a≥1
所以a的取值范围为：a=0或a≥1

点评：本题考察函数单调性与导数的关系，和分类讨论思想，及二次函数的知识，是导数中常见的恒成立问题，属中档题