Question

已知定义在R上的奇函数f（x）和偶函数g（x）满足f（x）+g（x）=2^x，若不等式af（x）+g（2x）≥0对x∈（0，1]恒成立，则实数a的取值范围是

[-2

2

，+∞)

．

Answer 1

分析：先根据函数奇偶性定义，解出奇函数f（x）和偶函数g（x）的表达式，将这个表达式不等式af（x）+g（2x）≥0，通过变形可得a≥-

(2x-2-x) 2+2

2x-2-x

，再通过换元，讨论出右边在x∈（0，1]的最大值，可以得出实数a的取值范围．

解答：解：∵f（x）为定义在R上的奇函数，g（x）为定义在R上的偶函数
∴f（-x）=-f（x），g（-x）=g（x）
又∵由f（x）+g（x）=2^x，结合f（-x）+g（-x）=-f（x）+g（x）=2^-x，
∴f（x）=

1

2

（2^x-2^-x），g（x）=

1

2

（2^x+2^-x）
不等式af（x）+g（2x）≥0，化简为

a

2

(2x-2 -x)  +

1

2

(2 2x+2-2x)  ≥0
∵0＜x＜1
∴0＜2^x＜2-2^-x＜1
因此将上面不等式整理，得：a≥-

22x+2-2x

2x-2-x

=-

(2x-2-x) 2+2

2x-2-x

令t=2^x-2^-x，则t＞0
∴-

(2x-2-x) 2+2

2x-2-x

=-(t+

2

t

)≤ -2

2

因此，实数a的取值范围是a≥- 2

2

故答案为[-2

2

，+∞)

点评：本题以指数型函数为载体，考查了函数求表达式以及不等式恒成立等知识点，属于难题．合理地利用函数的基本性质，再结合换元法和基本不等式的技巧，是解决本题的关键．