Question

【题目】圆锥（其中为顶点，为底面圆心）的侧面积与底面积的比是，则圆锥与它的外接球（即顶点在球面上且底面圆周也在球面上）的体积比为__________．

Answer 1

【答案】

【解析】

设出圆锥底面半径和母线长，利用侧面积和底面积的比求得与的关系，由此求得圆锥的高，进而求得圆锥的体积.利用轴截面计算出圆锥外接球的半径，由此求得外接球的体积，进而求得圆锥与它的外接球（即顶点在球面上且底面圆周也在球面上）的体积比.

设圆锥底面圆的半径为，圆锥母线长为，则侧面积为，侧面积与底面积的比为，则母线，圆锥的高为，则圆锥的体积为，设外接球的球心为，半径为，截面图如图，则，，，在直角三角形中，由勾股定理得，即，展形整理得，

则外接球的体积为，故所求体积比为.

故填：