Question

【题目】已知二次函数的图像经过点 ，且满足，

(1)求的解析式；

(2)已知，求函数在的最大值和最小值；

函数的图像上是否存在这样的点，其横坐标是正整数，纵坐标是一个完全平方数？如果存在，求出这样的点的坐标；如果不存在，请说明理由

Answer 1

【答案】（1） ； （2）当时，，当，

当，；当，；（3）.

【解析】

（1）由得到函数的对称轴，所以，再根据函数所过的点得到c=11,进而得到函数表达式；（2）根据函数表达式将绝对值去点，写成分段形式，讨论t的范围，进而得到最值；设函数的图像上存在点符合要求其中则，从而，变形为，根据数据43为质数，故可得到结果.

（1）因为二次函数

所以二次函数的对称轴方程为 ，即 ，所以.

又因为二次函数的图像经过点

所以，解得，

因此，函数的解析式为.

(2)由（1）知，= ，

所以，当时，，

当，

当，

当，，

如果函数的图像上存在点符合要求其中

则，从而

即,

注意到43是质数，且，

所以有 ，解得 ,

因此，函数的图像上存在符合要求的点，它的坐标为.