Question

设{a_n}是等差数列，b_n=（

1

2

）^a_n．已知b₁+b₂+b₃=

21

8

，b₁b₂b₃=

1

8

．求等差数列的通项a_n．

Answer 1

设等差数列{a_n}的公差为d，则a_n=a₁+（n-1）d．
∴bn=(

1

2

)a1+(n-1)d
b₁b₃=(

1

2

)a1•(

1

2

)a1+2d=(

1

2

)2(a1+d)=b₂²．
由b₁b₂b₃=

1

8

，得b₂³=

1

8

，
解得b₂=

1

2

．
代入已知条件

b1b2b3= 1 8 b1+b2+b3= 21 8 .

整理得

b1b3= 1 4 b1+b3= 17 8 .

解这个方程组得b₁=2，b₃=

1

8

或b₁=

1

8

，b₃=2
∴a₁=-1，d=2或a₁=3，d=-2．
所以，当a₁=-1，d=2时
a_n=a₁+（n-1）d=2n-3．
当a₁=3，d=-2时
a_n=a₁+（n-1）d=5-2n．