Question

若关于x的不等式|2x-1|-|x-3|＜m在x∈[0，4]上有解，则m的取值范围为

 

．

Answer 1

分析：不等式|2x-1|-|x-3|＜m在x∈[0，4]上有解，等价于f（x）_min＜m，令f（x）=|2x-1|-|x-3|，按照0≤x≤

1

2

，

1

2

＜x≤3，3＜x≤4三种情况进行讨论，可求得x∈[0，4]时，f(x)min=-

5

2

，从而可得答案．

解答：解：令f（x）=|2x-1|-|x-3|，
①当0≤x≤

1

2

时，f（x）=-（2x-1）+（x-3）=-x-2，
此时，-

5

2

≤f（x）≤-2；
②当

1

2

＜x≤3时，f（x）=（2x-1）+（x-3）=3x-4，
此时，-

5

2

＜f（x）≤5；
③当3＜x≤4时，f（x）=（2x-1）-（x-3）=x+2，
此时，5＜f（x）≤6；
综上，x∈[0，4]时，f(x)min=-

5

2

，
又不等式|2x-1|-|x-3|＜m在x∈[0，4]上有解，等价于f（x）_min＜m，
∴m＞-

5

2

，即m的取值范围为：（-

5

2

，+∞），
故答案为：（-

5

2

，+∞）．

点评：本题考查函数恒成立问题，考查转化思想、分类讨论思想，考查学生分析解决问题的能力．