题目内容
已知函数f(x)=2cos2(x+
)+sin2x．
（Ⅰ）求它的最小正周期T；
（Ⅱ）若f(α)=
，α∈(0，π)，求α的值；
（Ⅲ）求f（x）的单调增区间．
| π |
| 12 |
（Ⅰ）求它的最小正周期T；
（Ⅱ）若f(α)=
| 3 |
| 2 |
（Ⅲ）求f（x）的单调增区间．
分析：（Ⅰ）化简 f（x）的解析式为sin（2x+
）+1，故它的最小正周期T=
=π．
（Ⅱ）由 f(α)=
，α∈(0，π)，可得 sin（2α+
）=
，2α+
=
或
，由此求得 α的值．
（Ⅲ）由 2kπ-
≤2α+
≤2kπ+
，k∈z，求得x的范围，即可得到f（x）的单调增区间．
| π |
| 3 |
| 2π |
| 2 |
（Ⅱ）由 f(α)=
| 3 |
| 2 |
| π |
| 3 |
| 1 |
| 2 |
| π |
| 3 |
| 5π |
| 6 |
| 13π |
| 6 |
（Ⅲ）由 2kπ-
| π |
| 2 |
| π |
| 3 |
| π |
| 2 |
解答：解：（Ⅰ）∵f(x)=2cos2(x+
)+sin2x=1+cos2（x+
）+sin2x=
sin2x+
cos2x+1=sin（2x+
）+1，
∴它的最小正周期T=
=π．，
（Ⅱ）∵f(α)=
，α∈(0，π)，∴sin（2α+
）+1=
，∴sin（2α+
）=
．
∵α∈（0，π），∴2α+
∈（
，
），∴2α+
=
或
，∴α=
或
．
（Ⅲ）由 2kπ-
≤2α+
≤2kπ+
，k∈z，可得 kπ-
≤α≤kπ+
，k∈z，
∴f（x）的单调增区间为[kπ-
，kπ+
]，k∈z．
| π |
| 12 |
| π |
| 12 |
| 1 |
| 2 |
| ||
| 2 |
| π |
| 3 |
∴它的最小正周期T=
| 2π |
| 2 |
（Ⅱ）∵f(α)=
| 3 |
| 2 |
| π |
| 3 |
| 3 |
| 2 |
| π |
| 3 |
| 1 |
| 2 |
∵α∈（0，π），∴2α+
| π |
| 3 |
| π |
| 3 |
| 7π |
| 3 |
| π |
| 3 |
| 5π |
| 6 |
| 13π |
| 6 |
| π |
| 4 |
| 11π |
| 12 |
（Ⅲ）由 2kπ-
| π |
| 2 |
| π |
| 3 |
| π |
| 2 |
| 5π |
| 12 |
| π |
| 12 |
∴f（x）的单调增区间为[kπ-
| 5π |
| 12 |
| π |
| 12 |
点评：本题主要考查三角函数的恒等变换及化简求值，正弦函数的单调性、周期性，属于中档题．
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