题目内容
（2012•吉安二模）已知数列{an}是等差数列，a1=1，a1+a2+a3+…+a10=100．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）设数列{bn}的通项bn=1+
，记Tn是数列{bn}的前n项之积，即Tn=b1•b2•b3…bn，试证明：Tn＞
．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）设数列{bn}的通项bn=1+
| 1 |
| an |
| an+1 |
分析：（1）利用等差数列的求和公式，确定数列的公差，即可求得数列的通项；
（2）利用数学归纳法进行证明，关键是第二步要利用归纳假设．
（2）利用数学归纳法进行证明，关键是第二步要利用归纳假设．
解答：（1）解：∵a1=1，a1+a2+a3+…+a10=100，
∴10+45d=100，
∴d=2，
∴an=1+（n-1）×2=2n-1；
（2）证明：bn=1+
=1+
，
Tn=b1•b2•b3…bn=（1+
）•（1+
）…（1+
），
①当n=1时，2＞
成立；
②假设当n=k（k≥1，k∈N+）时，命题成立，即（1+
）•（1+
）…（1+
）＞
成立，
当n=k+1时，Tk+1=（1+
）•（1+
）…（1+
）（1+
）＞
(1+
)=
∵
×
＜
=2k+2
∴
＞
∴Tk+1＞
即n=k+1时，命题成立
综上，Tn＞
．
∴10+45d=100，
∴d=2，
∴an=1+（n-1）×2=2n-1；
（2）证明：bn=1+
| 1 |
| an |
| 1 |
| 2n-1 |
Tn=b1•b2•b3…bn=（1+
| 1 |
| 1 |
| 1 |
| 3 |
| 1 |
| 2n-1 |
①当n=1时，2＞
| 3 |
②假设当n=k（k≥1，k∈N+）时，命题成立，即（1+
| 1 |
| 1 |
| 1 |
| 3 |
| 1 |
| 2k-1 |
| 2k+1 |
当n=k+1时，Tk+1=（1+
| 1 |
| 1 |
| 1 |
| 3 |
| 1 |
| 2k-1 |
| 1 |
| 2k+1 |
| 2k+1 |
| 1 |
| 2k+1 |
| 2k+2 | ||
|
∵
| 2k+1 |
| 2k+3 |
| (2k+1)+(2k+3) |
| 2 |
∴
| 2k+2 | ||
|
| 2k+3 |
∴Tk+1＞
| 2k+3 |
即n=k+1时，命题成立
综上，Tn＞
| an+1 |
点评：本题考查等差数列的通项与求和，考查不等式的证明，解题的关键是掌握数学归纳法的证题步骤．
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