题目内容
f（x）是定义在（0，+∞）上的非负可导函数，且满足xf′（x）-f（x）＜0，对任意正数a，b，若a＜b，则必有（ ）
分析：由题意可构造函数g（x）=
，由g′（x）=
＞0，可得到g（x）在（0，+∞）上单调递增，结合任意正数a＜b即可得答案．
| x |
| f(x) |
| f(x)-xf′(x) |
| [f(x)]2 |
解答：解：∵f（x）是定义在（0，+∞）上的非负可导函数，且满足xf′（x）-f（x）＜0，
∴令g（x）=
，
则g′（x）=
＞0，
∴g（x）在（0，+∞）上单调递增，又0＜a＜b，
∴0＜g（a）＜g（b），
∴0＜
＜
，
∴af（b）＜bf（a）．
故选A．
∴令g（x）=
| x |
| f(x) |
则g′（x）=
| f(x)-xf′(x) |
| [f(x)]2 |
∴g（x）在（0，+∞）上单调递增，又0＜a＜b，
∴0＜g（a）＜g（b），
∴0＜
| a |
| f(a) |
| b |
| f(b) |
∴af（b）＜bf（a）．
故选A．
点评：本题考查利用导数研究函数的单调性，着重考查构造函数的思想与观察分析问题的能力，属于中档题．
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