Question

20.已知函数f（x）=a^x+（a＞1）.

（1）证明：函数f（x）在[－1，+∞）上为增函数；

（2）用反证法证明方程f（x）=0没有负数根.

Answer 1

20.

（1）证明：任取x₁、x₂∈[－1，+∞），不妨设x₁＜x₂，

 

则x₂－x₁＞0，＞1，且＞0，

∴－= （－1）＞0.

 

又∵x₁+1＞0，x₂+1＞0，

 

∴－=

 

=＞0.

 

于是f（x₂）－f（x₁）=－+－＞0，

 

故函数f（x）在[－1，+∞）上为增函数.

说明：利用函数单调性证明相应给分.

 

（2）证法一：设存在x₀＜0（x₀≠－1），满足f（x₀）=0

则=－，且0＜＜1，

 

∴0＜＜1，即＜x₀＜2.

 

与假设x₀＜0矛盾，故方程f（x）=0没有负数根.

 

证法二：设存在x₀＜0（x₀≠－1），满足f（x₀）=0

 

（Ⅰ）若－1＜x₀＜0，则＜－2，＜1，

 

∴f（x₀）＜－1与f（x₀）=0矛盾.

 

 

（Ⅱ）若x₀＜－1，则＞0，＞0，

 

∴f（x₀）＞0与f（x₀）=0矛盾.

故方程f（x）=0没有负数根.