Question

（2012•惠州模拟）某商场准备在节日期间举行促销活动，根据市场调查，该商场决定从3种服装商品、2种家电商品、4种日用商品中，选出3种商品进行促销活动．
（1）试求选出的3种商品中至少有一种日用商品的概率；
（2）商场对选出的商品采用有奖促销，即在该商品现价的基础上价格提高180元，同时允许顾客每购买1件促销商品有3次抽奖的机会，若中奖，则每次中奖都可获得奖金100元，假设顾客每次抽奖时中奖与否是等可能的，试分析此种有奖促销方案对商场是否有利．

Answer 1

分析：（1）事件“至少有一种是日用商品”的对立事件是“商品中没有日用商品”运用逆向思维，即可求选出的3种商品中至少有一种日用商品的概率；
（2）求出顾客在三次抽奖中所获得的奖金总额的期望值，与商场的提价数额比较，即可求得结论．

解答：解：（1）从3种服装商品、2种家电商品、4种日用商品中，选出3种商品一共有

C

3 9

种选法，选出的3种商品中没有日用商品的选法有

C

3 5

种，所以选出的3种商品中至少有一种日用商品的概率为P=1-

C 3 5

C 3 9

=

37

42

．
（2）顾客在三次抽奖中所获得的奖金总额是一随机变量，设为X，其所有可能值为0，100，200，300．
所以P（X=0）=

C

0 3

×(

1

2

)0×(

1

2

)3=

1

8

，P（X=100）=

C

1 3

×(

1

2

)1×(

1

2

)2=

3

8

，P（X=200）=

C

2 3

×(

1

2

)2×(

1

2

)1=

3

8

，

P（X=300）=

C

3 3

×(

1

2

)3×(

1

2

)0=

1

8

于是顾客在三次抽奖中所获得的奖金总额的期望值是E（X）=0×

1

8

+100×

3

8

+200×

3

8

+300×

1

8

=150．
因为150＜180，即顾客获奖奖金总额的期望值小于商场的提价数额，所以促销方案对商场有利．

点评：本题考查古典概型以及运用互斥事件求概率的方法，同时考查期望的求法，考查利用数学知识解决实际问题，属于中档题．