Question

已知函数f（x）=

1

3

x³+2x，对任意的t∈[-3，3]，f（tx-2）+f（x）＜0恒成立，则x的取值范围是

（-1，

1

2

）

．

Answer 1

分析：确定f（x）为单调递增的奇函数，再利用对任意的t∈[-3，3]，f（tx-2）+f（x）＜0恒成立，建立不等式，即可求x的取值范围．

解答：解：∵f（x）=

1

3

x³+2x，∴f（-x）=-

1

3

x³-2x，∴函数是奇函数；
∵f（tx-2）+f（x）＜0，∴f（tx-2）＜f（-x）
求导函数可得f′（x）=x²+2＞0，∴函数是R上的增函数
∴tx-2＜-x
∴tx-2+x＜0
∵对任意的t∈[-3，3]，f（tx-2）+f（x）＜0恒成立，
∴

-3x-2+x＜0 3x-2+x＜0

∴-1＜x＜

1

2

故答案为：（-1，

1

2

）．

点评：本题考查恒成立问题，考查学生的计算能力，确定f（x）为单调递增的奇函数是关键．