Question

已知函数f(x)=2sin(

1

2

x+

π

3

)
（1）写出此函数f（x）的周期和值域；
（2）求f（x）的单调递增区间；
（3）函数f（x）的图象如何由函数y=sinx的图象变换得到．

Answer 1

分析：（1）找出ω的值代入周期公式，即可求出函数的最小正周期；根据正弦函数的图象与性质即可求出f（x）的值域；
（2）根据正弦函数的单调递增区间即可求出f（x）的单调递增区间；
（3）利用平移规律及图象变换规律即可得到结果．

解答：解：（1）∵ω=

1

2

，∴T=4π，
∵-1≤sin（

1

2

x+

π

3

）≤1，即-2≤2sin（

1

2

x+

π

3

）≤2，
∴f（x）的值域为[-2，2]；
（2）由2kπ-

π

2

≤

1

2

x+

π

3

≤2kπ+

π

2

，k∈Z，解得：4kπ-

5

3

π≤x≤4kπ+

π

3

，k∈Z，
则函数的单调递增区间为[4kπ-

5

3

π，4kπ+

π

3

]，k∈Z；
（3）由函数y=sinx的图象向左平移

π

3

个单位，再把纵坐标不变，横坐标伸长2倍，然后把横坐标不变，纵坐标伸长2倍即可．

点评：此题考查了三角函数的周期性及其求法，正弦函数的定义域与值域，正弦函数的单调性，以及三角函数的图象变换，熟练掌握公式是解本题的关键．