Question

在

1

n

和n+1之间插入n个正数，使这n+2个数依次成等比数列，求所插入的n个数之积．

Answer 1

分析：先令a₀=

1

n

  a_n+1=n+1，进而设插入的n个数分别为a₁，a₂…a_n，进而根据等比中项的性质可推断出a₀×a_n+1=a₁×a_n=a₂×a_n-1=…=a_n×a₁=a_n+1×a₀，进而把n组数相乘，整理可求得答案．

解答：解：令a₀=

1

n

  a_n+1=n+1
插入的n个数分别为a₁，a₂…a_n
根据等比中项的性质可知a₀×a_n+1=a₁×a_n=a₂×a_n-1=…=a_n×a₁=a_n+1×a₀=

n+1

n

n组数相乘（a₁×a₂×…×a_n）²=（

n+1

n

）ⁿ
∴a₁×a₂×…×a_n=

( n+1 n ) n

；
故所插入的n个数之积为：

( n+1 n ) n

点评：本题主要考查了等比数列的性质--等比中项．考查了对等比中项性质的灵活运用，考查了学生综合分析问题和推理的能力．