Question

（本小题满分10分）选修4-5:不等式选讲

       已知a,b,c均为正数，证明：a²+b²+c²+≥6，并确定a,b,c为何值时，

等号成立.

Answer 1

证明：(证法一)

       因为a,b,c均为正数，由平均值不等式得

       a²+b²+c²≥                                                                                                 ①

              ≥

       所以≥.                               ②                 

       故a²+b²+c²+≥

       又≥，          ③          

       所以原不等式成立.

       当且仅当a=b=c时,①式和②式等号成立.当且仅当时, ③式等号成立.

       即当且仅当a=b=c=时,原式等号成立.                       

       (证法二)

       因为a,b,c均为正数,由基本不等式

       a²+b²≥2ab,

       b²+c²≥2bc

       c²+a²≥2ac.

       所以a²+b²+c²≥ab+bc+ac                          ①

       同理≥         ②                 

       故a²+b²+c²+()²

       ≥ab+bc+ac+3+3+3                

       ≥6.                                                   ③          

       所以原不等式成立

当且仅当a=b=c时,①式和②式等号成立,当且仅当a=b=c,(ab)²=(bc)²=(ac)²=3时,③式等号成立.

       即当且仅当a=b=c=时,原式等号成立.