Question

已知定义在[-1，1]上的奇函数f（x），当x∈（0，1]时，f(x)=

2x

4x+1

．
（1）求函数f（x）在[-1，1]上的解析式；
（2）试用函数单调性定义证明：f（x）在（0，1]上是减函数；
（3）要使方程f（x）=x+b，在[-1，1]上恒有实数解，求实数b的取值范围．

Answer 1

（1）当x∈[-1，0）时，-x∈（0，1]．
∵f（x）是奇函数，∴f（x）=-f（-x）=-

2-x

4-x+1

=-

2x

4x+1

由f（0）=f（-0）=-f（0），
∴在区间[-1，1]上，有f（x）=

2x 4x+1    x∈(0，1] - 2x 4x+1     x∈[-1，0) 0               x∈{0}

，
（2）证明当x∈（0，1]时，f（x）=

2x

4x+1

，设0＜x₁＜x₂＜1，
则f（x₁）-f（x₂）=

2x1

4x1+1

-

2x2

4x2+1

=

(2x2-2x1)(2x1+x2-1)

(4x1+1)(4x2+1)

∵0＜x₁＜x₂＜1，∴2x2-2x1＞0，2x2+x1-1＞0，
∴f（x₁）-f（x₂）＞0，即f（x₁）＞f（x₂），
故f（x）在（0，1）上单调递减；
（3）f（x）=x+b在[-1，1]上有实数解，转化为b=f（x）-x，
f（x）-x在[-1，0），（0，1]上单调递减；
∴f（x）-x的值域为 (-

1

2

，-

3

5

)∪(

3

5

，

1

2

)∪{0}，
∴实数b的取值范围为(-

1

2

，-

3

5

)∪(

3

5

，

1

2

)∪{0}．