Question

如图，正方形ABCD和四边形ACEF所在的平面互相垂直，CE⊥AC，EF∥AC，AB=

2

，CE=EF=1．
（Ⅰ）求证：AF∥平面BDE；
（Ⅱ）求三棱锥A-BDE的体积．

Answer 1

分析：（I）设AC与BD交点G，由正方形ABCD边长为

2

算出AG=1，结合EF∥AG且EF=1，证出四边形AGEF为平行四边形，得AF∥EG，最后根据线面平行判定定理即可证出AF∥平面BDE；
（II）由面面垂直性质定理，证出CE⊥平面ABCD，可得CE就是三棱锥E-ABD的高，结合题中的数据算出三棱锥E-ABD的体积等于

1

3

，由此即可得到三棱锥A-BDE的体积．

解答：解：（I） 设AC与BD交点G．
∵正方形ABCD的边长AB=

2

，∴AC=

2

AB=2，AG=

1

2

AC=1
又∵EF∥AG，且EF=1，
∴EF与AG平行且相等，可得四边形AGEF为平行四边形．
∴AF∥EG，
∵EG?平面BDE，AF?平面BDE，∴AF∥平面BDE．
（2）∵平面ABCD⊥平面ACEF，平面ABCD∩平面ACEF=AC，
CE?平面ACEF，CE⊥AC，
∴CE⊥平面ABCD，可得CE就是三棱锥E-ABD的高
∵三角形ABD的面积S_△ABD=

1

2

S_ABCD=1，CE=1
∴三棱锥E-ABD的体积为V_E-ABD=

1

3

×S_△ABD×CE=

1

3

因此，三棱锥A-BDE的体积V=V_E-ABD=

1

3

．

点评：本题在特殊多面体中求证线面平行，并求锥体的体积．着重考查了线面平行判定定理、面面垂直的性质和锥体体积公式的求法等知识，属于中档题．