Question

已知 （e是自然对数的底数），
（Ⅰ）求f（x）的单调区间；
（Ⅱ）设a_n=f（n），求数列{a_n}的前n项和S_n，并证明．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）求导函数，利用导数的正负，即可求f（x）的单调区间；
（Ⅱ）求出数列的通项．利用等比数列的求和公式求和，即可得到结论．
解答：解：（Ⅰ）∵，∴，
当x＜1时，f′（x）＞0，f（x）是单调递增，当x＞1时，f′（x）＞0，f（x）是单调递减．
所以f（x）的递增区间是（-∞，1]，递减区间是[1，+∞）． …5分
（Ⅱ）∵a_n=f（n），S_n=a₁+a₂+…+a_n，∴且，
∴
∴=
∴．
由（Ⅰ）知，∴，∴，∴，
∴．…13分．
点评：本题考查导数知识的运用，考查导数的几何意义，考查不等式的证明，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．