Question

已知数列{a_n}是各项均不为0的等差数列，公差为d，S_n为其前 n项和，且满足

a

2 n

=S2n-1，n∈N^*．数列{b_n}满足bn=

1

an•an+1

，T_n为数列{b_n}的前n项和．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）求数列{b_n}的前n项和T_n；
（3）若对任意的n∈N^*，不等式λTn＜n+8-(-1)n恒成立，求实数λ的取值范围．

Answer 1

分析：（1）设等差数列{a_n}的公差为d，首项为a₁，然后取n=1，n=2，将等式化成关于a₁与d的方程组，解之即可；
（2）将数列的通项进行化简得bn=

1

an•an+1

=

1

2

（

1

2n-1

-

1

2n+1

），然后进行求和，消项后可求出数列{b_n}的前n项和T_n．
（3）当n为奇数时，要使不等式λT_n＜n+8-（-1）ⁿ恒成立，即需不等式λ＜

(n-8)(2n+1)

n

=2n-

8

n

-15恒成立，转化为求解最值即可

解答：解：（1）设等差数列{a_n}的公差为d，首项为a₁，
在a_n²=S_2n-1中，令n=1，n=2，
得

a12=S1 a22=S3

，即

a12=a1 (a1+d)2=3a1+3d

，（4分）
解得a₁=1，d=2，
∴a_n=2n-1．
（2）bn=

1

an•an+1

=

1

2

（

1

2n-1

-

1

2n+1

），
∴T_n=

1

2

（1-

1

3

+

1

3

-

1

5

+…+

1

2n-1

-

1

2n+1

）=

n

2n+1

．
（3）①当n为偶数时，要使不等式λT_n＜n+8-（-1）ⁿ恒成立，
即需不等式λ＜

(n+8)(2n+1)

n

=2n+

8

n

+17恒成立．
∵2n+

8

n

≥8，当且仅当n=2时取“=”，
∴λ＜25（8分）
②当n为奇数时，要使不等式λT_n＜n+8-（-1）ⁿ恒成立，即需不等式
λ＜

(n-8)(2n+1)

n

=2n-

8

n

-15恒成立．
∵2n-

8

n

随n增大而增大，
∴n=1时，2n-

8

n

取得最小值-6．
∴λ＜-21．（10分）
综合①、②可得λ的取值范围是λ＜-21．

点评：本题主要考查了数列的递推公式在数列的通项公式的求解中的应用，叠乘法在求解数列的通项中的应用及数列的裂项求和方法的应用，不等式的恒成立与最值求解的相互转化，具有一定的综合性