Question

已知函数f（x）=plnx-（p-1）x²+1
（1）当p=1时，f（x）≤kx恒成立，求实数k的取值范围；
（2）证明：ln(n+1)＜1+

1

2

+

1

3

+…+

1

n

(n∈N*)．

Answer 1

分析：（1）因为f（x）=plnx-（p-1）x²+1，所以当p=1时，f（x）≤kx恒成立，k≥

1+lnx

x

，令h(x)=

1+lnx

x

，则k≥h（x）_max，由此能求出实数k的取值范围．
（2）由（1）知当k=1时，lnx＜x-1，令x=

n+1

n

，构造函数ln

n+1

n

＜

1

n

，由此能够证明ln(n+1)＜1+

1

2

+

1

3

+…+

1

n

(n∈N*)．

解答：解：（1）∵f（x）=plnx-（p-1）x²+1，
∴x＞0，∴当p=1时，f（x）≤kx恒成立，
则1+lnx≤kx，∴k≥

1+lnx

x

，
令h(x)=

1+lnx

x

，则k≥h（x）_max，
∵h′(x)=-

lnx

x2

，∴由h′（x）=0，得x=1
且当x∈（0，1）时，h′（x）＞0；当x∈（1，+∞）时，h′（x）＜0，
所以h（x）_max=h（1）=1，
故k≥1．
所以实数k的取值范围是[1，+∞）．
（2）由（1）知当k=1时，有f（x）≤x，当x＞1时，f（x）＜x
即lnx＜x-1，令x=

n+1

n

，构造函数ln

n+1

n

＜

1

n

，
即ln(n+1)-lnn＜

1

n

，
所以ln

2

1

＜

1

1

，ln

3

2

＜

1

2

，…，ln

n+1

n

＜

1

n

，
相加得ln

2

1

+ln

3

2

+…+ln

n+1

n

＜1+

1

2

+…+

1

n

，
而ln

2

1

+ln

3

2

+…+ln

n+1

n

=ln(

2

1

•

3

2

…

n+1

n

)=ln(n+1)，
所以ln(n+1)＜1+

1

2

+

1

3

+…+

1

n

(n∈N*)．

点评：本题考查函数恒成立时，实数的取值范围的求法，考查不等式的证明．解题时要认真审题，注意等价转化思想和构造法的合理运用．