题目内容

如图，已知四棱锥P-ABCD的底面为直角梯形，AB∥CD，∠DAB=90°，PA⊥底面ABCD，且PA=AD=DC= $数学公式$ AB=1，M是PB的中点．
（1）求二面角P-AC-M的平面角的余弦值；
（2）在棱PC上是否存在点N，使DN∥平面AMC，若存在，确定点N的位置；若不存在，说明理由．

解：（1）如图建立空间直角坐标系，则A（0，0，0），M（0，1， $\text{[math]}$ ），C（1，1，0），B（0，2，0），P（0，0，1）…（1分）
∴ $\text{[math]}$ ，

设平面AMC的一个法向量 $\text{[math]}$
由 $\text{[math]}$ ，取x=1，则y=-1，z=2，∴ $\text{[math]}$ =（1，-1，2）…（3分）
又∵ $\text{[math]}$ =（1，-1，0）•（1，1，0）=0， $\text{[math]}$
∴ $\text{[math]}$ 是平面PAC的一个法向量，…（5分）
∴cos＜ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ＞= $\text{[math]}$ ，
所求二面角的余弦值为 $\text{[math]}$ …（6分）
（2）存在，且N为PC中点
设 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ =（λ-1，λ，1-λ）…（9分）
依题意知， $\text{[math]}$ ，
∴λ= $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ ，即N为PC中点…（12分）
分析：（1）建立空间直角坐标系，用坐标表示点与向量，求出平面AMC的一个法向量，平面PAC的一个法向量，利用向量的夹角公式，即可求得二面角P-AC-M的平面角的余弦值；
（2）存在，且N为PC中点，利用 $\text{[math]}$ ，可得结论．
点评：本题考查面面角，考查线面平行，考查利用向量方法解决立体几何问题，解题的关键是确定平面的法向量．