Question

已知如下等式：1²＝，1²＋2²＝，1²＋2²＋3²＝，…当n∈N^*时，试猜想1²＋2²＋3²＋…＋n²的值，并用数学归纳法给予证明．

Answer 1

答案：
解析：

猜想：12＋22＋32＋＋n2＝n(n＋1)(2n＋1) 　　下面用数学归纳法证明： 　　(1)当n＝1时，猜想显然成立； 　　(2)假设当n＝k时猜想成立，即： 　　12＋22＋32＋＋k2＝k(k＋1)(2k＋1) 　　则当n＝k＋1时， 　　12＋22＋32＋＋k2＋(k＋1)2＝k(k＋1)(2k＋1)＋(k＋1)2＝(k＋1)[k(2k＋1)＋6(k＋1)] 　　＝(k＋1)(2k2＋7k＋6)＝(k＋1)(k＋2)(2k＋3)＝(k＋1)[(k＋1)＋1][2(k＋1)＋1] 　　即当n＝k＋1时，猜想也成立； 　　综合(1)(2)可知，猜想对一切n∈N*都成立．