Question

（本小题满分12分）

设二次函数，对任意实数，有恒成立；数列满足.

（1）求函数的解析式和值域；

（2）试写出一个区间，使得当时，数列在这个区间上是递增数列，并说明理由；

（3）已知，是否存在非零整数，使得对任意，都有

 恒成立，若存在，求之；若不存在，说明理由.

Answer 1

解：（1）由恒成立等价于恒成立，

从而得：，化简得，从而得，所以，

其值域为.

（2）解：当时，数列在这个区间上是递增数列，证明如下：

设，则，所以对一切，均有；

，从而得，即，所以数列在区间上是递增数列.

注：本题的区间也可以是、、等无穷多个.

另解：若数列在某个区间上是递增数列，则

即又当时，，所以对一切，均有且，所以数列在区间上是递增数列.

（3）由（2）知，从而；

，即；………12分

令，则有且；

从而有，可得，所以数列是为首项，公比为的等比数列，从而得，即，所以 ，

所以，所以，

所以，.

即，所以，恒成立

当为奇数时，即恒成立，当且仅当时，有最小值为。

当为偶数时，即恒成立，当且仅当时，有最大值为。

所以，对任意，有。又非零整数，