Question

已知数列{a_n}中，对于任意n∈N^*，a_n=4a_n³-3a_n．
（1）求证：若|a_n|＞1，则|a_n+1|＞1；
（2）若存在正整数m，使得a_m=1，求证：
（ⅰ）|a_m|≤1；
（ⅱ）a1=cos

2kπ

3m-1

（其中k∈Z）（参考公式：cos3α=4cos³α-3cosα）．

Answer 1

分析：（1）因为|a_n|＞1，利用a_n+1=4a_n³-3a_n，可以证明；
（2）（ⅰ）利用反证法，由（1）知若|a_k|＞1，则|a_k+1|＞1．所以当|a₁|＞1时，有|a_n|＞1（n∈N^*），这与已知a_m=1矛盾；（ⅱ）由特殊归纳得a_n=cos3^n-1θ，再进行验证，从而推得结论．

解答：证明：（1）因为|a_n|＞1，a_n+1=4a_n³-3a_n
所以|a_n+1|=|4a_n+1³-3a_n+1|=|a_n|（4|a_n|²-3）＞1．（2分）
（2）①假设|a₁|＞1，则|a₂|=|4a₁³-3a₁|=|a₁|（4|a₁|²-3）＞1
若|a_k|＞1，则|a_k+1|=|4a_k+1³-3a_k+1|=|a_k|（4|a_k|²-3）＞1．
所以当|a₁|＞1时，有|a_n|＞1（n∈N^*），这与已知a_m=1矛盾，
所以|a_m|≤1．（6分）
②由①可知，存在θ，使得a₁=cosθ．
则a₂=4cos³θ-3cosθ=cos3θ
假设n=k时，有a_n=cos3^n-1θ即a_k=cos3^k-1θ
则a_k+1=4a_k³-3a_k=4（cos3^k-1θ）³-3（cos3^k-1θ）=cos3^kθ
所以对任意n∈N^*，a_n=cos3^n-1θ，
则a_m=cos3^m-1θ=1，3^m-1θ=2kπ，其中k∈Z
即θ=

2kπ

3m-1

，
所以a1=cos

2kπ

3m-1

（其中k为整数）．

点评：本题主要考查反证法，考查利用数学归纳法的思想证明猜想结论，综合性强．