Question

已知函数f(x)＝alnx－x²＋(a∈R且a≠0)．

(Ⅰ)求f(x)的单调区间；

(Ⅱ)是否存在实数a，使得对任意的x∈[1，＋∞)，都有f(x)≤0？若存在，求a的取值范围；若不存在，请说明理由．

Answer 1

答案：
解析：

解：(Ⅰ)的定义域为． 　　．2分 　　当时，在区间上，． 　　所以的单调递减区间是．3分 　　当时，令得或(舍)． 　　函数，随的变化如下： 　　所以的单调递增区间是，单调递减区间是．6分 　　综上所述，当时，的单调递减区间是； 　　当时，的单调递增区间是，单调递减区间是． 　　(Ⅱ)由(Ⅰ)可知： 　　当时，在上单调递减． 　　所以在上的最大值为，即对任意的，都有；7分 　　当时， 　　①当，即时，在上单调递减． 　　所以在上的最大值为，即对任意的，都有；10分 　　②当，即时，在上单调递增， 　　所以． 　　又， 　　所以，与对于任意的，都有矛盾．12分 　　综上所述，存在实数满足题意，此时的取值范围是．13分