Question

在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知4sin2

A+B

2

-cos2C=

7

2

，且c=

7

，则△ABC的面积的最大值为（　　）

• A．

  7 3

  4

• B．

  3

  4

• C．

  7 3

  8

• D．

  3

  8

Answer 1

分析：由4sin2

A+B

2

-cos2C=

7

2

，利用倍角公式可得2[1-cos(A+B)]-(2cos2C-1)=

7

2

，解得cosC=

1

2

，可得C=

π

3

．利用余弦定理可得：c²=a²+b²-2abcosC，再利用基本不等式可得(

7

)2=a2+b2-ab≥2ab-ab=ab，进而得到S△ABC=

1

2

absinC的最大值．

解答：解：∵4sin2

A+B

2

-cos2C=

7

2

，∴2[1-cos(A+B)]-(2cos2C-1)=

7

2

，
化为4cos²C-4cosC+1=0，解得cosC=

1

2

，
∵C∈（0，π），∴C=

π

3

．
由余弦定理可得：c²=a²+b²-2abcosC，
∴(

7

)2=a2+b2-ab≥2ab-ab=ab，当且仅当a=b时取等号．
∴ab≤7．
∴S△ABC=

1

2

absinC=

3

4

ab≤

7 3

4

．
△ABC的面积的最大值为

7 3

4

．
故选：A．

点评：本题考查了倍角公式、余弦定理、基本不等式和三角形的面积，属于中档题．