Question

【题目】设函数．

（1）当时，在上恒成立，求实数的取值范围；

（2）当时，若函数在上恰有两个不同的零点，求实数的取值范围；

（3）是否存在常数，使函数和函数在公共定义域上具有相同的单调性？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）．

【解析】

试题分析：（1）首先将问题转化为在上恒成立，然后令，从而通过求导研究函数的单调性，求得其最小值，进而求得的取值范围；（2）首先将问题转化为在上恰有两个不同的零点，然后令，从而通过求导研究函数的单调性，求得其最小值，进而求得的取值范围；（3）首先分别求得函数和函数的单调区间，然后根据与具有相同的单调性建立关于的不等式组，由此求得的值．

试题解析：（1）当时，由得，

∵，∴，∴有在上恒成立，

令，由得，

当，∴在上为减函数，在上为增函数，

∴，∴实数的取值范围为；

（2）当时，函数，

在上恰有两个不同的零点，即在上恰有两个不同的零点，

令，则，

当，；当，，

∴在上单减，在上单增，，

又，如图所示，所以实数的取值范围为．

（3）函数和函数在公共定义域为，

∴在单调递减，在上单调递增，

函数，

时，恒成立，在上单调递增，不合题意，

时，当时，当时，，

在上单调递减，在上为单调递增，

要使与具有相同的单调性，须，解得．

存在常数时，使与具有相同的单调性．