Question

设{a_n}是集合{2^t+2^s|0≤s＜t,且s,t∈Z}中的所有的数从小到大排列成的数列，即a₁=3,a₂=5,a₃=6,a₄=9,a₅=10,a₆=12,…,

将数列{a_n}各项按照上小下大，左小右大的原则写成如下三角形数表：

3

5　6

9　10　12

—　—　—　—

—　—　—　—　—

……

（1）写出这个三角形数表的第四行,第五行各数；

（2）求a₁₀₀.

Answer 1

解:（1）第四行:17　18　20　24?

第五行:33　34　36　40　48?

（2）方法一:设n为a_n的下标,观察每行第一个元素下标,三角形数表第一行第一个元素下标为1.?

第二行第一个元素下标为2=,?

第三行第一个元素下标为4=,?

…?

第七行第一个元素下标为,?

第七行第s个元素下标为+s,该元素为2^t+2^s-1,?

据此判断a₁₀₀所在行.?

∵＜100＜,?

∴a₁₀₀是第14行的第9个元素.?

∴a₁₀₀=2¹⁴+2^9-1=16 640.?

方法二:观察三角形数表的排列中每行元素个数和,此数列有1+2+3+…+n=项.?

当n=13时, =91＜100，?

n=14时,=105＞100,?

故知a₁₀₀是第14行第9个数.?

所以a₁₀₀=2¹⁴+2^9-1?=16 640.?

方法三:设a₁₀₀=2+2,只须确定正整数t₀,s₀.?

由于数列{a_n}中小于2的项构成的子集中元素个数为C=＜100,?

满足此式的最大整数t₀=14.?

又100-C²₁₄=s₀+1,?

∴s₀=8.?

∴a_100?=2₁₄+2⁸=16 640.