Question

如图，正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AA₁=2AB=4，点E在CC₁上且C₁E=3EC，点F是线段CC₁的中点
（Ⅰ）证明：AF∥平面BED；
（Ⅱ）求二面角A₁-DB-A的正切值；
（Ⅲ）求三棱锥F-BED的体积．

Answer 1

分析：（I）连接AC，交BD于O，根据三角形中位线定理易得：OE∥AF，再由线面平行的判定定理，即可得到AF∥平面BED
（II）如图，建立空间直角坐标系D-xyz．求出平面A₁DB的一个法向量和平面ADB的一个法向量，代入向量夹角公式即可求出二面角A₁-DB-A的正切值；
（Ⅲ）三棱锥F-BED的体积等于三棱锥F-BCD与三棱锥E-BCD的差，根据棱锥的体积公式分别计算出三棱锥F-BCD与三棱锥E-BCD的体积，即可得到答案．

解答：证明：（I）连接AC，交BD于O，则O为AC的中点，连接EO
∵点E在CC₁上且C₁E=3EC，点F是线段CC₁的中点
∴E为CF的中点，则OE∥AF
又∵OE?平面BED，AF?平面BED
∴AF∥平面BED
解：（II）如图，建立空间直角坐标系D-xyz．
则A（2，0，0）B（2，2，0），C（0，2，0），E（0，2，1），F=（0，2，2），A₁（2，0，4）．
则

DB

=(2，2，0)，

DA1

=(2，0，4)
设

n

=（x，y，z）为平面A₁DB的一个法向量，则

2x+2y=0 2x+4z=0

令z=1，

n

=（-2，2，1）
又∵

AA1

=（0，0，4）为平面ADB的一个法向量，
则cos＜

n

，

AA1

＞=

n • AA1

| n |•| AA1|

=

1

3

则tan＜

n

，

AA1

＞=2

2

即二面角A₁-DB-A的正切值为2

2

．
（Ⅲ）三棱锥F-BED的体积等于三棱锥F-BCD与三棱锥E-BCD的差
∴V_F-BED=V_F-BCD-V_E-BCD=

1

3

•(FC-EC)•S△BCD=

1

3

•FE•S△BCD=

2

3

．

点评：本题考查的知识点是二面角的平面角及求法，棱锥的体积，线面垂直的判定，（1）的关键是得到OE∥AF，（2）的关键是建立坐标系，求出两个平面的法向量，（3）的关键是分析三棱锥F-BED的体积等于三棱锥F-BCD与三棱锥E-BCD的差．