Question

（2012•闵行区一模）如图，矩形OABC中，AB=1，OA=2，以B为圆心、BA为半径在矩形内部作弧，点P是弧上一动点，PM⊥OA，垂足为M，PN⊥OC，垂足为N，则四边形OMPN的周长的最小值为

6-2

2

．

Answer 1

分析：连接BP，设∠CBP=α，其中0≤α＜

π

2

，则PM=1-sinα，PN=2-cosα，周长C=6-2（sinα+cosα），再利用三角函数恒等变换，能求出四边形OMPN的周长的最小值．

解答：解：连接BP，设∠CBP=α，其中0≤α＜

π

2

，
则PM=1-sinα，PN=2-cosα
周长C=6-2（sinα+cosα），
∵（sinα+cosα）²=1+2sinαcosα=1+sin2α，
∴要让周长最小，即让（sinα+cosα）最大，即sin2α最大，
∵sin2α在α=

π

4

时取到最大值sin2α=1，
∴当α=

π

4

时，周长有最小值6-2

2

．
故答案为：6-2

2

．

点评：本题考查四边形周长的最小值的求法，具体涉及到圆的简单性质、三角函数等基本知识，解题时要认真审题，仔细解答．