Question

【题目】已知数列和满足，，，.

（1）证明：是等比数列，是等差数列；

（2）求和的通项公式；

（3）令，求数列的前项和的通项公式，并求数列的最大值、最小值，并指出分别是第几项.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2），；（3）当为偶数时，，当为奇数时，；的最大值为第1项，最大值为1，最小值为第2项，最小值为.

【解析】

（1）根据定义判断是等比数列，是等差数列；

（2）由（1）求得和的通项公式，解方程分别求得和的通项公式

（3）先求为偶数时的，利用并项求和法求出，再求为奇数时的，

利用递推式（为偶数），再分析的符号和单调性，求出的最大

值和最小值.

解: （1）由题,，相加得

得，故是首项为公比为的等比数列；

又由,，相减得，

即，故是首项为公差为 的等比数列.

（2）由（1）得，，联立解得

，

（3）由（2）得

当为偶数时，

当为奇数时，，

时，

则当为奇数时，.

综合得

则当为奇数时，单调递增且;

当为偶数时，

故单调递减，又，即，

则当为奇数时，单调递减且，当为偶数时，单调递增且

故的最大值为第1项，最大值为1，最小值为第2项，最小值为.