题目内容

已知函数f（x）= $数学公式$ ．
（Ⅰ）若函数f（x）在[1，+∞）上是增函数，求正实数a的取值范围；
（Ⅱ）当a=1时，求函数f（x）在 $数学公式$ 上的最大值和最小值；
（Ⅲ）当a=1时，对任意的正整数n＞1，求证： $数学公式$ ，且不等式lnn＞ $数学公式$ 都成立．

（I）解：由题设可得 $\text{[math]}$
∵函数f（x）在[1，+∞）上是增函数，
∴当x∈[1，+∞）时，不等式 $\text{[math]}$ 即 $\text{[math]}$ 恒成立．
∵当x∈[1，+∞）时， $\text{[math]}$ 的最大值为1，∴实数a的取值范围是[1，+∞）；
（Ⅱ）解：当a=1时， $\text{[math]}$
∴当 $\text{[math]}$ 时，f'（x）＜0，于是f（x）在 $\text{[math]}$ 上单调递减；
当x∈（1，2]时，f'（x）＞0，于是f（x）在（1，2]上单调递增．
又 $\text{[math]}$
综上所述，当x=1时，函数f（x）在 $\text{[math]}$ 上的最小值为f（1）=0，当 $\text{[math]}$ 时，
函数f（x）在 $\text{[math]}$ 上的最大值为 $\text{[math]}$
（Ⅲ）证明：当a=1时，由（Ⅰ）知 $\text{[math]}$ 在[1，+∞）上是增函数
∴对于任意的正整数n＞1，有 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$
而 $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$
∴ $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ．
而 $\text{[math]}$ ，
则 $\text{[math]}$ 成立
分析：（I）求导函数，利用函数f（x）在[1，+∞）上是增函数，可得当x∈[1，+∞）时，不等式 $\text{[math]}$ 恒成立，求出 $\text{[math]}$ 的最大值，即可得到实数a的取值范围；
（Ⅱ）当a=1时， $\text{[math]}$ 确定函数f（x）在 $\text{[math]}$ 上的单调性，即可求得函数的最大值与最小值；
（Ⅲ）当a=1时，由（Ⅰ）知 $\text{[math]}$ 在[1，+∞）上是增函数，可证明 $\text{[math]}$ ，叠加，即可证得结论．
点评：本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性，考查函数的最值，考查不等式的证明，解题的关键是确定函数的单调性．